É neto paterno de Braz Costa e Francisca Leite Costa, e neto materno de Francisco Barbosa de Melo e Raimunda Maria da Conceição.
Braz passou parte de sua infância no Sítio Brejo, zona rural de Felipe Guerra, e no ano de 2001 passou a morar na Cidade Alta. Durante esse período trabalhava na sorveteria de seu pai e ao mesmo tempo estudava. Iniciou seus estudos na Escola Municipal José Barra Neto, no Sítio Brejo, depois passou a frequentar a Escola Estadual Antônio Francisco e por último a Escola Municipal José do Patrocínio Barra, onde concluiu seu ensino fundamental.
Iniciou o segundo grau na Escola Estadual Abel Freire Coelho, na cidade de Mossoró/RN, e passou a morar na Casa do Estudante, de 1986 a julho de 1988. Concluiu os últimos seis meses na Escola Estadual Antônio Francisco, em Felipe Guerra. Cursou 1 ano e seis meses no Curso de Administração, na UNP.
Foi aprovado em concurso público municipal para o cargo de agente administrativo, sendo convocado para assumir a respectiva função no ano de 1988.
Foi Chefe de Gabinete da Prefeitura Municipal de Felipe Guerra, de janeiro de 2001 a abril de 2004, durante a segunda gestão do ex-prefeito Hugo Costa.
Em 2004, lançou seu nome como candidato a prefeito do município pelo PMDB, sendo eleito com 2.532 sufrágios, para o quadriênio 2005-2008. Reelegeu-se no pleito de 05 de outubro de 2008, com 2.771 votos, para o quadriênio 2009-2012.
Durante os 8 anos à frente do executivo municipal, Braz Costa conseguiu realizar diversos feitos, apesar das dificuldades financeiras que os municípios de pequeno porte passam. Asfaltou a avenida principal e outras ruas da cidade, várias ruas foram calçadas com paralelepípedos com recursos próprios. Reformou escolas, praças e construiu mais de 130 casas populares através de convênios e recursos próprios.
Atualmente mantém uma união estável com Regina Coeli Costa e Silva.
*Francisco Veríssimo - Blog Fatos de Felipe Guerra-Portal Fatos do RN